Abstract degli interventi

I sistemi caotici:

1a. La contrapposizione tra ordine e caos, dalla cosmologia antica a Laplace e Poincaré.
Sin dai tempi antichi il cosmo era stato inteso come sorgere dal caos per opera di un demiurgo. Questo é tipico di tutte le culture antiche. È interessante notare come la matematica sia sorta appunto come formalizzazione dell’ordine che nasce nel e dal caos.

1b. La matematica del caos: da Archimede a Galileo, Newton e Kolmogorov.
Lo sviluppo della matematica come linguaggio della fisica inizia come geometrico e numerico, per poi divenire dinamico, e passare quindi da descrittivo a predittivo. Questo svolgimento millenario può essere ripercorso in esempi semplici, da laboratorio per scuole secondarie: il pendolo, il pendolo calcolato col metodo di Eulero, la mappa di Chirikov e le sue intersezioni omocline, il sistema planetario dei tre corpi.

1c. La logica del caos: Turing, Chaitin e Kolmogorov.
Caos è aleatorietà deterministica. La teoria della complessità algoritmica di Chaitin e Kolmogorov permette di formulare precisamente questo concetto. Se ne può anche dare una esperienza “tattile” in laboratorio, simulando semplicemente alcuni dei sistemi dinamici più noti: i biliardi.

1d. Il caos è ubiquo: si possono mostrare innumerevoli esempi, anche nella vita quotidiana, di sistemi con moto caotico.

I sistemi complessi:

2a. Grafi e reti complesse. Proprietà strutturali.
Nelle religioni orientali l’uno è in relazione col tutto. Nella teoria matematica dei grafi un singolo ente (raffigurato come un vertice) è connesso ad altri vertici da linee (legami) in modo da formare quella che si chiama rete o grafo. Alcune di queste reti hanno una struttura semplice, ordinata, ma la gran parte non possiedono una geometria semplice. Tuttavia, di esse si possono dare proprietà fisico-matematiche astratte ed importanti.

2b. Reti complesse i cui i nodi sono sistemi dinamici caotici.
Supponiamo ora che ciascuno degli enti precedentemente introdotti non sia statico, ma il suo stato evolva secondo una legge dinamica quale quelle studiate nella prima lezione. Si pensi ad esempio ad un pendolo. Essendo questo pendolo “in rete”, i suoi legami ad altri pendoli rappresentano l’influenza che il moto di questo puo’ esercitare su quelli. Viene cosi’ a formarsi una “rete dinamica”, che altro non è che un sistema dinamico a molte, moltissime dimensioni.

2c. Proprietà emergenti.
Il moto di tali reti dinamiche mostra proprietà che trascendono quelle dei sistemi che la compongono: ad esempio, pendoli con frequenze diverse (ma non troppo) possono “sincronizzarsi” e mettersi ad oscillare all’unisono. È questa una delle cosiddette “proprietà emergenti”.

2d. Esempi: cuore, cervello, reti elettriche, internet, epidemie.
Si possono citare numerosi esempi di questi fenomeni, ormai noti anche ai divulgatori televisivi.

2d. Esempi da laboratorio.
Al di là del folklore, è possibile far simulare numericamente agli allievi in laboratorio alcuni di questi fenomeni.